2017年 北嶺中学校 算数(2)

今回は,本年度入試で最も難しかった大問3を取り上げます。


数の性質の問題ですが,全部の場合を調べ上げるのはかなり大変です。

問題全体を通して上手な誘導がなされているので,

小問を順に解いていく中でうまく規則性を見つけて,

調べる回数を減らすことが肝心です。


問題を解くための方針を定められずにいると,

大きな時間のロスにもつながりかねません。


 

なお、問題は標準札幌校ホームページ北嶺中学過去入試問題からダウンロードできます。




大問3


(1)


面白さ☆☆ 難度A


E*B=(1,2,3)→(1,3,2)→(3,2,1)=F


答え F


(2)


面白さ☆☆☆ 難度B


まず,A~Fの3つの対応を,次のように3つのグループに分けます。


グループ① 3つの数が全く変化しない対応・・・A


グループ② 1つの数が変化せず,残り2つの数が入れかわる対応・・・B,C,F


グループ③ 3つの数がすべて変化する対応・・・D,E


ここで,Xがグループ②のとき,X*Xの対応は,

(1,2,3)

→(1つの数が変化せず,残り2つの数が入れかわる)

→(1回目に変化しなかった1つの数はそのままで,1回目で入れかわった2つの数がもとにもどる)

→(1,2,3)

のように,(1,2,3)にもどることがわかります。


例えば,B*B=(1,2,3)→(1,3,2)→(1,2,3)=Aのようになります。


次に,Xがグループ③のとき,X*Xの対応は,

D*D=(1,2,3)→(2,3,1)→(3,1,2)=E

E*E=(1,2,3)→(3,1,2)→(2,3,1)=D

のようになります。


よって,X*X=Aが成り立つのは,X=B,C,Fのときです。


答え B,C,F


(3)


面白さ☆☆☆☆☆ 難度C


いま,A*A=A,A*X=X*A=Xは明らかです。


さらに,(1),(2)からわかる対応を加えて表にすると,次のようになります。



ここから,残りの対応を考えるのですが,すべての場合を調べるのは大変です。

X,Yがどのグループかで場合分けして,「規則性」を見つけましょう。


その1・・・X,Yがともにグループ②のとき。

B*C=(1,2,3)→(2,1,3)→(3,1,2)=E

C*B=(1,2,3)→(1,3,2)→(2,3,1)=Dのようになるので,

対応は,DまたはEのいずれかと等しくなり,X*Y≠Y*Xであることが予想できます。


※実際には,B*F=(1,2,3)→(3,2,1)→(2,3,1)=D

F*B=(1,2,3)→(1,3,2)→(3,1,2)=E

C*F=(1,2,3)→(3,2,1)→(3,1,2)=E

F*C=(1,2,3)→(2,1,3)→(2,3,1)=D

のようになるのですが,

実際の試験では,最初の2例から結果を予想して,

他のパターンを調べていくのが現実的でしょう。


その2・・・X,Yがグループ②,③に分かれるとき。

(1)より,E*B=Fがわかっています。

B*E=(1,2,3)→(3,1,2)→(2,1,3)=Cのようになるので,

対応は,B,C,Fのいずれかと等しくなり,X*Y≠Y*Xであることが予想できます。


ここでも,他のパターンを調べることを優先します。


その3・・・X,Yがともにグループ③のとき。

D*E=(1,2,3)→(3,1,2)→(1,2,3)=A

E*D=(1,2,3)→(3,1,2)→(1,2,3)=Aのようになるので,

対応は,Aと等しくなり,X*Y=Y*Xであることがわかります。


以上から,X,YがDとEであるとき,X*Y=Y*Xが成り立つことがわかりました。


答え D,E


(4)


面白さ☆☆☆☆☆ 難度C


ここまででわかった対応を表にすると,次のようになります。



ここから,選ばれる3つがどのグループかを考えます。


まず,3つがすべてグループ②(B,C,F)のとき,

X*Yの対応は,A,D,Eのいずれかと等しくなるので,条件に適しません。


よって,求める3つには必ずグループ③(D,E)が含まれます。


かりにDがふくまれるとすると,D*D=Eより,Eもふくまれます。

このとき,D*E=E*D=Aより,Aもふくまれます。


残りの組み合わせは,A*A=A,A*D=D*A=D,A*E=E*A=Eとなります。


よって,A,D,Eの3つを選べば,

X*Yの対応は,必ずA,D,Eのいずれかと等しくなるので,条件に適します。


答え A,D,E

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