2014年 立命館慶祥中学校 算数(2)

今回は、大問Ⅴを取り上げて解説します。点の移動と図形の面積の問題です。


標準的な難度の問題ですが、最後の小問を自信を持って解答するのは、少し難しそうです。


文書 1-3




 

[1]


難度A 面白さ☆☆


BCを三角形APDの高さと考えると、三角形APDの面積が最大になるのは、

底辺の長さが最大になるときです。


点PがBに来たとき、底辺の長さが6㎝で最大になります。


6÷1=6(秒後)


答え 6秒後




[2]


難度B 面白さ☆☆


ここでも、BCを台形ABCDおよび三角形APDの高さと考えます。


台形の上底と下底の長さの和は、3+6=9(㎝)なので、

三角形APDの面積が台形の面積の1/2になるのは、

底辺の長さが、9÷2=4.5(㎝)になるときです。


1回目

点Pが辺AB上にあるときは、AP=4.5㎝になればよいので、4.5÷1=4.5(秒後)です。


2回目

点Pが辺BC上にあるときは、Pを通り台形の上底・下底に平行な直線と

辺ADとの交点をEとして、線分PEを三角形APDの底辺と考えます。


PE=4.5㎝になるのは、点Pが辺BCの真ん中に来たときです。

(このとき、PEの長さは台形の上底と下底の長さの平均に等しくなります。)


点Pは、6+6÷2=9(㎝)進んでいるので、9÷1=9(秒後)です。


ritk-2014-math2-2-1


答え 4.5秒後、9秒後

 

点Pが出発してからの時間と、三角形APDの面積の関係を

グラフに表しても求めることができます。


ritk-2014-math2-2-2




[3]


(1)


難度B 面白さ☆☆ 


6秒後の点P、Qの位置は、下図のようになります。


ritk-2014-math2-3-1

 


辺ABの真ん中の点をFとすると、三角形ABQと三角形AFBは、

いずれも直角をはさむ2辺の長さが6㎝と3㎝になり、合同な三角形だとわかります。


等しい角に印をつけると図のようになり、(ア)の角は90度であることがわかります。


答え 90度


(2)


難度A 面白さ☆☆


3秒後の点P、Qの位置は、下図のようになります。


ritk-2014-math2-3-2


このとき、AQとDPの交点をGとすると、三角形APGと三角形QDGは

合同な直角二等辺三角形になっています。


三角形APDと三角形AQDが重なる部分(三角形AGD)の面積は、

3×3÷2=4.5(㎠)です。


答え 4.5㎠


(3)


難度B 面白さ☆☆


「三角形APDと三角形AQDが重なる部分の面積が最大になるのは、

おそらく点Pと点Qが重なるときだろう」

と直感的に考えることができれば、図形のセンスが磨かれつつありますね。


理由は、点Pと点Qが重なるとき、三角形APDと三角形AQDが完全に一致するからです。


点Pと点Qが重なるのは、(3+6+6)÷(1+1)=7.5(秒後)です。


[2]のグラフからもわかるように、三角形APDの面積は、7.5秒後以降は減少を続けます。


一方、三角形AQDの面積は、出発してから点QがBに来る(3+6)÷1=9(秒後)までは

増加を続けます。


以上のことから、重なる部分の面積が最大になるのは,7.5秒後となります。


答え 7.5秒後

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