2014年 ラサール中学校 算数(1)

今回は、九州有数の進学校であるラサール中学校の問題を取り上げます。


本校の入試は算数100点・国語100点・理科50点・社会50点の300点満点で、

近年の合格ラインは180点前後です。


本年度入試の平均点は未発表ですが、

2013年度入試での各教科の合格者平均と不合格者平均の得点差は、

算数14.0点、国語7.4点、理科4.5点、社会3.8点となっています。

やはり、算数の点数が合否を大きく左右する入試と言えます。


2014年度は、標準札幌校から5名が挑戦し、全員合格を達成しました。

過去6年間の合格率は94%です。


2014度の出題内容は、次の通りです。


大問1(12点) 計算問題3問(12点)

大問2(30点)

(1)数の性質

(2)平面図形の面積

(3)倍数変化算

(4)平面図形(折り返しと角度)

大問3(17点) 速さと比

大問4(18点) 数の性質

大問5(13点) 平面図形(相似)

大問4(18点) 立体図形の体積


本校の算数入試の特色として、「出題傾向が毎年ほぼ一定である」ということが挙げられます。


後半の大問4題のうち、3題は

「速さと比」 「平面図形(図形の移動または相似)」 「立体図形の体積」

の3分野から1題ずつ出題され、残りの1題は

「数の性質」 「場合の数」 「文章題(ニュートン算・仕事算・損益算など)」

などの分野から年替わりで出題されます。


なお、ラサール中学校の算数の入試問題は、全国的にもめずらしい手書きスタイルです。


今回は、「これぞ、ラサール入試の平面図形」という典型的な出題となった

大問5を取り上げて解説します。


lasalle-2014-5


2014年度の入試では、最も難しい問題です。


うまく補助線を引くことができれば、おなじみの相似が見つかります。




 

(1)


難度C 面白さ☆☆☆


三角形FEHと三角形CDEの面積が等しいことを利用します。


CF、DHを結ぶと、三角形FDH(=三角形FEH+三角形EDH)と、

三角形CDH(=三角形CDE+三角形EDH)の面積が等しくなるので、

CFとDHが平行であることがわかります。

(HDを底辺としたときの、三角形FDHと三角形CDHの高さが等しいからです。)


CF:DH=BC:BD=3:(3+2)=3:5 となり、相似より、

CE:EH=CF:DH=3:5 と求められました。


lasalle-2014-5-1

 


答え 3:5




(2)


難度C 面白さ☆☆☆


GH、BEを結ぶと、(1)と同様に考えて、GHとBEは平行になります。


CFとDHが平行であることから、BF:FH=BC:CD=3:2 となり、

相似より、BE:GH=BF:FH=3:2 です。


さらに、AB:AG=AE:AH=BE:GH=3:2 なので、

AG:GB=AH:HE=2:(3-2)=2:1 です。


(1)の結果と合わせると、AH:HE:EC=(5×2):5:3=10:5:3 です。


lasalle-2014-5-2


これで準備完了です。


斜線の3つの三角形の面積はすべて等しいので、

三角形BFGのかわりに、三角形ECDの面積を求めます。


三角形ABCと三角形ECDを比べると、

底辺の長さの比は、BC:CD=3:2、

高さの比は、AC:EC=(10+5+3):3=18:3=6:1 になっているので、

面積の比は、(3×6):(2×1)=18:2=9:1 です。


三角形ECDの面積は、72×1/9=8(㎠) と求められました。


答え 8㎠




(3)


難度B 面白さ☆☆


(2)と同様に考えれば、簡単に求められます。


三角形ABCと三角形BDGを比べると、

底辺の長さの比は、BC:BD=3:5、

高さの比は、AB:GB=3:1 になっているので、

面積の比は、(3×3):(5×1)=9:5 です。


三角形BDGの面積は、72×5/9=40(㎠) と求められました。


答え 40㎠


 

最初は、問題を解くための「取っ掛かり」を見つけにくく感じますが、

「一見して難しく思える図形も、実は基本図形の組み合わせである。」

という見本のような問題です。


「補助線の引き方」「相似の利用のしかた」「面積比の求め方」など、

受験算数に必要なさまざまなテクニックを確認できる良問なので、

ラサールの志望者に限らず、ぜひとも解法を習得して下さい。

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