2013年 北嶺中学校 算数(2)

今回は、大問3を取り上げます。


毎年、必ずどこかの学校の入試で出題される「場合の数」の代表的な問題です。


問題は、標準札幌校のホームページ北嶺中学校過去入試問題


ご覧になれます。



(1)


難易度A 面白さ☆☆☆☆


使う上がり方(1度に上る段数)の組み合わせは、(1,2,3)と(2,2,2)の2種類あります。


あとはそれぞれの並べ方(順序)を考えて、


(1,2,3)は,3×2×1=6(通り)、


(2,2,2)は,1×1×1=1(通り)で、


合計6+1=7(通り)となります。


答え   7通り


中学入試では、組み合わせ → 並べ方という考え方が頻出です。


(A,B,C)のタイプ → 並べ方は6通り,


(A,A,B)のタイプ → 並べ方は3通り,


(A,A,A)のタイプ → 並べ方は1通り,


のようにパターン化して覚えておきましょう。



(2)


難易度B 面白さ☆☆☆☆


フィボナッチ数列を利用した場合の数の問題です。


まずは、「フィボナッチ数列」について、少し説明しておきましょう。


0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,……のように、


前の2項の和が並ぶ数列をフィボナッチ数列といいます。


この数列の名前は、


中世で最も才能があったと評価されるイタリアの数学者


レオナルド・フィボナッチに由来します。


この数列自体は、インドの数学者の間では6世紀から知られており、


13世紀初頭にフィボナッチが初めて西洋に紹介しました。


「1段ずつ」と「1段飛ばし」の2種類の上がり方があるとき、


1段の階段の上がり方は、明らかに1通りです。


次に、2段の階段の上がり方は、(1段→1段,2段)の2通りです。


実は3段以降は、フィボナッチ数列の要領で、前の2項の和を求めれば、


上がり方が求められます。


整理すると、次のようになります。


1段 → 1通り
2段 → 2通り
3段 → 3通り(1+2=3)
4段 → 5通り(2+3=5)
5段 → 8通り(3+5=8)
6段 → 13通り(5+8=13)


 答え 13通り


解法はわかりましたが、これだけでは「なぜそうなるのか」が


わかりませんね。


6段の場合を例にとって,簡単に説明しておきましょう。


「1段ずつ」と「2段飛ばし」の2種類の上がり方があるので、


6段の階段を上るときに最初にふみ出す1歩目は、


2段(残りは4段)、または1段(残りは5段)となります。


最初に2段上ったとき,残りの4段の上がり方は、


4段の階段の上がり方と同じ5通り。


最初に1段上ったとき、残りの5段の上がり方は、


5段の階段の上がり方と同じ8通り。


よって、6段の階段の上がり方は、


前の2項(4段と5段)の和に等しくなります。


7段以降も同様に、前の2項の和を求めれば、


上がり方が何通りあるかが求められます。



(3)


難易度B 面白さ☆☆☆☆


今度はトリボナッチ数列を利用した解法です。


0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,……のように、


前の3項の和が並ぶ数列をトリボナッチ数列といいます。


「1段ずつ」,「1段飛ばし」,「2段飛ばし」の3種類の上がり方があるとき、(2)と同様に考えて、


1段の階段の上がり方は1通り、2段の階段の上がり方は2通りです。


次に、3段の階段の上がり方は、


(1段 → 1段 → 1段,1段 → 2段,2段 → 1段,3段)の4通りです。


4段以降は、トリボナッチ数列の要領で、前の3項の和を求めれば、上がり方が求められます。


整理すると、次のようになります。


1段 → 1通り
2段 → 2通り
3段 → 4通り
4段 → 7通り(1+2+4=7)
5段→13通り(2+4+7=13)
6段→24通り(4+7+13=24)


答え 24通り


この問題も、最初にふみ出す1歩目(3段,2段、1段のいずれか)に


注目すれば、前の3項の和を求めればよいことがわかります。



ちなみに道外難関校の入試では、平成7年に大阪星光学院中学校で


トリボナッチ数列を利用した同様の問題が出題されています。



次回、北嶺中学校 算数(3)は、大問4の解説をおこないます。

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