2013年 北嶺中学校 算数 (1)

2013年度の出題内容は、次の通りです。


大問1 計算問題4問


大問2

  1. 整数の素因数分解
  2. お金の支払い方
  3. 速さと比
  4. 対戦表(勝ち負けの問題)
  5. 平面図形(円とおうぎ形)

大問3 階段の上がり方(フィボナッチ数列・トリボナッチ数列)


大問4 水面の高さ(水そう内の仕切りが動く問題)


大問5 立体図形(影の面積)



今回は、大問2の小問を取り上げて、順に解説していきます。


なお、問題は、標準札幌校ホームページ北嶺中学校過去入試問題


御覧になれます。




(1)


難易度A  面白さ☆☆


【ア】×【イ】×【ウ】=2013ということは、すぐにわかるので、


2013を素因数分解することを考えます。


2013の各位の数字の和は3の倍数(2+0+1+3=6)となっているので、


まずは、2013を3で割ってみると、2013÷3=671となります。


ここからは試行が必要です。考え込まずに、どんどん手を動かすことが大事です。


671が3,5の倍数でないことは容易にわかるので、


÷7,÷11と、どんどん素数で割っていきましょう。


すると、671÷7=95.8・・・,671÷11=61となり、3×11×61=2013とわかります。

ちなみに、以下で紹介する倍数の見分け方から、2013や671が11の倍数で


あることがわかります。


答え 【ア】3,【イ】11,【ウ】61


◎おもな倍数の見分け方


2の倍数・・・一の位が0,2,4,6,8のいずれか。


3の倍数・・・各位の数字の和が3の倍数。


4の倍数・・・下2けたの数字が、00または4の倍数。


6の倍数・・・各位の数字の和が3の倍数かつ、一の位が0,2,4,6,8のいずれか。


8の倍数・・・下3けたの数字が、000または8の倍数。


9の倍数・・・各位の数字の和が9の倍数。


11の倍数・・・各位の数字を1つおきに加えた和の差が、0または11の倍数。


※2013を例にとると、2+1=3,0+3=3,3-3=0より、2013が11の倍数とわかります。



入試年度の数字を使った問題は、北嶺中学校に限らず、多くの中学入試で見られます。


2014年入試をひかえた受験生は、2014=2×19×53という素因数分解を


覚えておいて損はないでしょう。




(2)


難易度A  面白さ☆☆☆☆


366円の支払い方に目がいきがちですが、「あること」に気がつくと、


簡単に正解にたどりつくことができます。


まず、最初の硬貨の枚数は、4+13+5+4=26(枚)で、


金額は1×4+10×13+50×5+100×4=784(円)です。


ここから366円の品物を買うと残金は、784-366=418(円)になります。


ここで、この418円の硬貨の枚数を最も少なくすることを考えると,


418円→100円×4枚,10円×1枚,5円×1枚,1円×3枚となり、


枚数は4+1+1+3=9(枚)になります。


つまり、最初の枚数からは、26-9=17(枚)減らすことができたわけです。


答え  17枚


ちなみに、このときの366円の支払い方は、50円玉5枚、10円玉12枚、1円玉1枚で、


50×5+10×12+1×1-366=5(円)のおつりをもらうことになります。


やはり、上の解法のように、残金から考えるほうが効率がよいですね。



 


(3)


難易度B  面白さ☆☆☆


速さと比・逆比の関係の理解度が試される問題です。


A君とB君の所要時間の比は、50:60=5:6なので、


A君とB君との速さの比は、6:5(速さの比の逆比)とわかります。


ここからが肝心です。


「周回コースを同じ向きに進んでいて、一方の走者がもう一方の走者を追いこす」


とは、いったいどういう状況でしょうか。


それは、「追いこす側が追いこされる側よりもちょうど1周だけ多く進む」ことを意味します。


ここでは、A君とB君との速さの比が6:5なので、A君が6周進むとB君が5周進み、


2人の周回数の差がちょうど1周になります。


つまり、A君は6周するごとに、B君を追いこすことがわかります。


A君は全部で25周するので、追いこしの回数は、


25÷6=4(回)…1とわかります。


答え 4回


 



(4)


難易度B面白さ☆☆☆


問題の条件を正確に読み取ることができれば、確実に正解できる問題なのですが、


意外に苦戦した受験生が多かったようです。


大問2の中では、(1)、(5)とともに、ぜひとも正解しておきたい問題です。


まず、Bの勝ち点に注目すると、B-Dの対戦は、B○、D×とわかります。


次に、Eの順位に注目すると、EはC、D2チームとの対戦で2勝していることがわかります。


ここまでは、ほとんどの受験生が容易にたどり着けたはずです。

ここからが正解への正念場です。


次に、Aの勝ち点に注目すると、


AはC、D2チームとの対戦で1敗1引き分けであることがわかります。


つまり、C、Dのうちどちらか1チームはAに勝って、勝ち点3を得ています。


Cの勝ち点は2なので、CがAに勝っていることは考えられません。


よって、Aに勝ったのはDだとわかります。


以上より、A-Cの対戦は、A△、C△、


A-Dの対戦は、A×、D○とわかります。


あとは、Cの勝ち点から、C-Dの対戦は、C△、D△とわかります。


これで、以下のように、全ての対戦結果がわかりました。


hokurei25math1


勝ち点の合計は、5+8+2+4+7=26(点)です。


答え 26点



次回、北嶺中学校 算数(2)は、大問3の解説をおこないます。


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