2012年 北嶺中学校 算数(1)

いよいよ9月10日より、2013年度の『北嶺突破ゼミ』が開講します。


『北嶺突破ゼミ』開講に合わせて、過去の北嶺入試で出題された難問や、

合否を分けた問題を取り上げて解説していきます。


第1回目は、2012年の大問5です。

立体図形の難問ですが、特に(3)の図をイメージするには、高度な立体感覚が要求されます。

問題は標準札幌校のホームページ北嶺中学校過去入試問題からダウンロードできます。




(1)


難度B 面白さ☆☆☆☆☆


下図のように、立方体の各頂点に記号を打って、

展開図と対応させるのが最も確実な解き方です。

正確な作業を心がけて、何としても正解しておきたい問題です。


あとは、展開図にAC、AH、CH、AFを順にかきこめば、正解にたどりつきます。


hokurei2012-5-1


答え

hokurei2012-5-1-1




(2)


難度C 面白さ☆☆☆☆☆


(1)の立方体ABCD‐EFGHの1辺の長さを3とします。

このとき、立方体の体積は、3×3×3=27 となります。


図1の正四面体は、立方体から4つの合同な三角すい

B‐AFC、D‐ACH、E‐AFH、G‐CFHを切り取った残りの立体です。


三角すい1個あたりの体積は、3×3÷2×3÷3=4.5 なので、

図1の正四面体の体積は、27-4.5×4=9 となります。


次は、図3の正八面体の体積を考えましょう。


下の斜線部は対角線の長さが6の正方形となっているので、

その面積は、6×6÷2=18 です。

 


hokurei2012-5-2-4


この正方形で正八面体を上下2つの立体に分けて考えると、

それぞれの立体は、面積18の正方形を底面とし、

高さが3の四角すいであることがわかります。


それぞれの四角すいの体積は、18×3÷3=18 なので、

図3の正八面体の体積は、18×2=36 となります。


正八面体と正四面体の体積のちがいは、36-9=27 となり、

図1の立方体の体積の、27÷27=1(個分)と求められました。


答え 1個分




(3)


難度D 面白さ☆☆☆☆☆


この問題を解くために是非とも知っておきたい、公式的な知識があります。


それは、

『1つの正四面体は、もとの正四面体の1/8の体積の正四面体4個と、

もとの正四面体の1/2の体積の正八面体1個に分割される。』

ということです。


図を使って説明しましょう。


hokurei2012-5-2-1


上図の正四面体を、正四面体の4つの面それぞれに対して平行な4つの平面で、

正四面体の高さを2等分するように切り分けます。


この切断を「切断X」と呼ぶことにします


すると、正四面体は、合同な正四面体4個と正八面体1個に分割されます。


もとの正四面体どうしの相似比が1:2なので、体積比は,(1×1×1):(2×2×2)=1:8 となります。

よって正八面体ともとの正四面体の体積比は、(8-1×4):8=1:2 となります。


このとき、切り分けられてできた小さな正四面体1個と正八面体の体積比は、

1:4 となっており、図1の正四面体と図3の正八面体の体積比(9:36=1:4)と

等しいことが分かります。


この知識をもとに、図5の立体を見てみると、


hokurei2012-5-2-2


● 印をつけた頂点を持つ1辺が、②の4個の正四面体で

それぞれ「切断X」が行われたのと結果的に同じであることが分かります。


1辺が②の4個の正四面体1個ごとに、1辺が①の正八面体が1個ずつ含まれるので、

正八面体の個数は4個と分かります。


ここからは、体積比の考え方を用いて考えると簡単です。


図1の正四面体(1辺=①)と図3の正四面体(1辺=③)の体積比は、

(1×1×1):(3×3×3)=1:27 です。


正八面体1個の体積は、図1の正四面体の4倍なので、

図3の正四面体には、図1の正四面体が27-4×4=11(個)含まれることが分かります。


このとき、図1の正四面体11個の体積の合計と、正八面体4個の体積の合計のちがいは、

図1の正四面体の体積の、4×4-1×11=5(個分)になります。


答え 正四面体=11個、正八面体=4個、体積のちがい=5個分

 

実際の正四面体11個と正八面体4個の配置は、下図のようになります。


hokurei2012-5-2-3


ここでは、正八面体を見つけやすくするために、

(2)の解説で斜線をつけた面に斜線を入れてあります。

 

 

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